CoMMENTARir 4 
i6i 
eem , initium alte petam , exorfufque a faclllimis ad difficilio» 
ra paulatim progrediar, quod & legentibus erit commodum , 
& mihi muJto magis , qui fcribere de his cogar , homo ne- 
que mathematicus , neque m.uficus . Dicam igitur primum de 
progrelfionibus geometricis, ut potero; tum de muficis inter- 
vallis ; deinde ad id veniam , quod agitur. 
Progreliio geometrica eft feries numerorum f ut omnia ad 
numeros referamus } quorum priraus eft ad fecundum , uti 
fecutidus ad tertium , & tertius |d quartura , aliique deinceps 
ad alios in infinitum . Exemplo elTe potelMeries illa fubdupla , 
qux fimplicilfima eft , & in naturaii numerorum lerie quafi 
primam fe oftert , 
I, 2, 4, 8, 16, 32, 64 &c. 
quse fubdupla dicitur, proptcrea quod primus terminus dimi- 
dia pars eft fecundi , uti & fecundus tertii , aliique deinceps 
aliorum . Neque minus exempio elTe potell illa, quse lianc 
proxime fequitur , ejufque imitatur limplicitatem , / * 
I, 3, 9, 27, 8i , 243, 729, &c. 
quje fubtripla dicitur , quod primus terminus tertia pars cft 
fecundi . 
Quoniam in duabus hifce feriebus , quas exempli loco 
elTe voiui , fermo fere totus deiuceps verfabitur , non ab re 
erit unum in his animadvertere , quod efl ceteroqui inteiieftu 
facillimum . 
Quamvis feries illa fubdupla in infinitum abiens infinitos 
com.pleftatur numeros , non continuo tamen complecftitur nu- 
meros omnino omnes . Vides eam , dL.m tranfit a 2 ad 4 , 
praeterire numerum 3 , qui numeius 3 in lota illa ferie nuf- 
quam reperietur, fiquidem numeri , quifecuntur, omnes ma- 
jores lint, neceffe efl: . Tranfiens deincie a 4 ad 8 praeterit nu- 
meros 5, 6, 7. Tranfiens ab 8 ad 16, prarterit numeros 
9, 10, II, 12, 13, 14, 1$. Tranfiens a 163^32, practerit 
numeros 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 „ 24 , 25 , 26 , 27 ^ 
a8, 29, 30, 31. Eoque plures prseterit , ulterius procedens» 
Idque ipfum licet animadvertere etiara in ferie fubtripla; 
quippe qua: tranfiens ab i ad 3 practerit numerum 2,33 ad 
9 prictent numeros 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ; ab 9 ad 27 praeterit nu- 
ineros 10, ii, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 
22 , 23 , 24 , 25 , 26 . 
Quod fi numeios, quos neutra feries recipit , velis perfe- 
T' ^ X, qui , 
