Opuscuia . 
sd ^ r c z &c. Multiplica formulam pc'' - f - s x - r :=:: o 
per pc — i i ut fiat x'^ — t x"^ — s — r x r ^ o , Tura 
— x^-h tx^ ^ sx 
fumptis quatuor terminis primis a t b t c y d efforma feriem 
lecurrentem multiplicando quatuor terminos antecedentes , fado 
initio ab ultimo , per t -^- i, j- — -j, — -r. Qj-fmtus 
terminus erit td-^sc~^rb~rai fed d ^tc-^- s b -^- ra^- z; 
-f- d—tc — sb 
ergo retento tdy &l hoc valore pro d fubAituto , liet quintus 
terminus — fd~hsc-^rb-^2t qui convenit CDm quinto 
termino e feriei fuperioris . Quod de reliquis omDibus fimili- 
ter demonltrabitur . ProgreiTus ilte fatis fuperque oftendit, fe- 
ries recurrentes cum appendice nihil aliud efle , quam feries 
recurrentes vulgares gradus fuperioris . 
Serierum , in quibus haftenus verfati fumus , nova pro- 
prietas aperienda eft , ut earum ufus magis magifque pateat , 
& natura cognofcatur. Ajo itaque , feries recurrentes cujufcum- 
que gradus, quotiefcumque aequatio , qux refolvitur ad earum 
terminos generales inveniendos , habet pro radice unitatem , 
obtinere pro differentiis primis feriem recurrentem gradus in- 
ferioris . Quare quum feries iftas coincidant cum feriebus re- 
currentibus cura appendice gradus inferioris , palam fit , diife- 
rentias primas feriei recurrentis cum appendice prccbere feriem 
recurrentem ejufdem gradus . 
Gradatim procedens inclpiam a feriebus recurrentibus 
fecundi gradus . Sit aequatio xx — t x t -^^^.q t cujus una ra- 
— X 
dix = I . Sumptis ad libitum prirais duobus terminis a ^ h ^ 
formetur feries multiplicando duos terminos antecedentes per 
? H- I, fa(flo initio ab ultimo, Haec ita exponatur a, b^ 
c , ^ , e , / &c. Conftat c-=.tb-^b-ta, d — tc-\-c-tbi 
e—fd-^-d — /c &c. Dilferentiarum feries erit hujufmodi 
a — b i b — c, c — d t d»^ e t e ~— f &c. In fecundo termino 
pro c ejus valorem fubftitue , & fiet ta — tb\ ergo fecundus 
terminus eft jequalis primo multiplicato per t, Sim.iliter in 
tertio fubftitue valorem d^ & habebis tb — ?c; igitur tertius 
terminus eft aequalis fecundo multipiicato per t\ atque ita de 
reliquis. Conftat itaque , differentiarum feriem elfe recurrentem 
primi gradus , in qua quiiibet terminus muitiplicatus per t 
dat fubfequentem . 
T.KP,IL Ggg Ea= 
