258 D. J. KORTEWEG. 
nous trouvons sans grandes difficultés, et poussant rapproximation jus- 
qu'aux termes en et y/^, 
1 + 1 3 
(1+0% ^-^(27'-3x')^-3/,^' + 
^ 2 
x" 
+ 9 (/- y:y^-^^{3y-Zy:) + + 4^,.^,/ = 0. (87) 
Au même degré d'approximation nous avons d'ailleurs: 
1 I 
, ^ Ti 
X 
ovi, dans le second terme du second membre, on peut faire usage, en 
toute sécurité, de la première approximation fournie par l'équation (69). 
y ayant égard , et multipliant par x" et divisant par ^ , on transforme 
l'équation (87) eu: 
2? + 2Ç^'+4(27'-3/;)N^^''-|(2/-3>.0.'''-'V'.*'''^' + 
+ 9 {y— z) v"x" — ~ {3y—2y:)'^^x"-j- i^rr, ^x" -\-^(r^x"^ = 0. (88) 
Réduction ultérieure de la Iroisirme relation connodale. 
Déduction de Vé(pialio7i (25) de la partie descriptive. 
26. Additionnant membre à membre les équations (85) et (88), on 
trouve maintenant: ') 
f) Q '>7 63 
- 1 1 ,*-9(/-.04V-9 (7'-x')^'V+ 
+ ^(2r'- 3>c') v"H + ~ [(2r'- 2,y:f + \Q (3^'- 2 y/)] y^,^ =0. (89) 
*) Il est remarquable que les termes empruntés à s'évanouissent, ce qui 
F , ^ CL h , 
a comme conséquence que a' et J', c. a d. — et ~, disparaissent du résultat 
final. Nous nous sommes convaincus de diverses manières de l'exactitude de 
cette conclusion. 
