COURBES DE FRÉQUENCE. 417 
Cette espèce de fréquences forme donc une transition entre les cas de 
limites déterminées et indéterminées. Comme il n'y a pas ici de symétrie 
pour les limites, il n'est pas possible de choisir l'origine à partir de 
laquelle on commence à compter de telle façon que les fonctions itn- 
paires disparaissent par intégration; il s'ensuit qu'une distinction entre 
fonctions paires et impaires n'aurait pas de sens, de sorte qu'on est obligé 
d'employer des polynômes complets de degré ascendant. 
Dans ce cas, de même que dans celui traité au § 2, il n'y a aucun 
avantage à placer l'origine ù la moyenne arithmétrique; à un point de 
vue logique et pratique c'est plutôt la limite zéro qui est indiquée. 
Pour que le développement puisse se faire entre les limites ^-o et 0 , 
on n'a qu'à multiplier la série des polynômes par un facteur convenable, 
p. ex. e'^'^ , de sorte que la courbe de fréquence devient 
u = ^-■'•(^o'^o + ^^i-^i + etc.) 
= A'^o etc.) 
où 
Sn = x.^ a^x -\- «2^"""' -\r ■ ■ ■ ■ -\- a,i. 
Les conditions auxquelles les coefficients a doivent satisfaire sont: 
GO 00 
I e-^ Su dx=0, j e-'''x S„ dx = 0 j e^--- x"^^ Sn dx = 0 . 
0 0 0 
Comme 
/ x"'dx = nf , 
0 
on trouve que les équations de condition générales sont 
?i! + (« — 1).' a, + {n — 2)! + +1.' a"-'' + 0.' a„ = 0 
{n + 1) / + n ! a, + {n —l)!a.,-{- -f 2 ./ + 1 ./ a,, = 0 
(2m — 1).' + (2« - 2).' «1 + {2n — 3)I + + u! + (« — 1) «„ = 0. 
On en déduit que la forme générale est 
5. = - ^x"-^ + '^^^~^^^x"-^—. . . (16) 
