423 J. p. VAN DER STOK., 
Il est tout naturel de poser 
A =0, 
de sorte que, comme Aq = 1, la valeur de // est déterminée par: 
00 
^1 = Jq// j e~''-^xdx=-. 
4. DÉVELOPPEMENT ENTRE LES LIMITES INFINIES + CC . 
Des raisons de symétrie conduisent naturellement à prendre dans 
ce cas, comme facteur déterminant les limites, la fonction e^-^'; si pour 
la même raison on choisit comme origine la moyenne arithmétique, 
on peut, tout comme pour des limites déterminées, distinguer des poly- 
nômes pairs et impairs, puisque les fonctions impaires disparaissent par 
intégration entre les limites. 
La série devient ainsi: 
•« = e'-" [J, U, + A, (/, + A,U,+ .... etc.] 
= ^0 4>o + A 02 + ^'4 ^3 + • • • • etc. 
puisque le choix de l'origine a fait disparaître le terme A^ . Pour déter- 
miner les constantes a on a l'équation de condition 
00 
j x>" <pn dx=Q, [m < n) (26) 
ou en général, pour n pair, 
[(« — 1) (n—3)..A] -f 2a., [(« — 3) (w — 5)...l] + 
+ 2^ a, [{u — 5) {n — 7)...l] + ... + 2"/-^«„ = 0 
[{u + 1) {n - + 2«, [{n - 1) (n - 3)..l] -f 
+ 2^ a, [(« — 3) {n — 5)...l] + ... + 2«-2/2 _ q 
[(2w — 3) {2u — 5)...l] + 2«2 [(2/^ — 5) (2« — 7)...l] + 
+ 2'-«, [2u — 7) {-lu — 9)...l J + ... + 2a„ [{n — 3) — 5)...l] = 0, 
et pour n impair: 
