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sphère, la forme la plus simple d'une surface à courbure moyenne con- 
stante. Nous pouvons notamment établir la condition pour qu'un point 
soit un point ombilical; omettant des infiniments petits d'ordre supé- 
rieur, cette condition est ') : 
^ — Z _ ^ 
T)~ i/~ly" 
Si donc en tout point de la surface E = G = Q , tout point est un 
point ombilical dès que D = D" = ^ \ et ces surfaces sont des sphères 
(du moins pour autant que uous considérons la solution réelle). 
5. Envisageons maintenant la question d'une façon un peu plus générale. 
Si uous considérons la courbure totale d'une surface comme inva- 
riante dirterentielle simultanée des deux formes fondamentales, uous 
trouvons ^) : 
Courbure totale = 
1)1/ -D" H'- M).m 
KG— F'' 4. /'2 
_ 1 ^ /a 1 r-{iogF) 
IFà'^KiFà^J F ^tdy ' 
2iF d'^\iF d^yf F 'à^dy, 
(Remarquons encore que l'on voit directement que 
1 — 1 _i 
F rj ' 
où r, et sont les rayons de courbure principaux). 
Si nous déduisons de {VI) la valeur de F , nous trouvons: 
ou: 
8 dv 
F = 
Nous substituons cette valeur de F dans {IX) au moyen des calculs 
suivants. 11 résulte de {VII): 
Voir p. ex. V. et K. Kommerell, AUgemeine Théorie der Raumkurven 
und Flachen, II, p. 21. 
') BlANCHI, l.c. p. 68. 
