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J. 1). VAN DUR \VAAt,S. 
OU 
Pour ,(■ = 0 le pveiuicf niciubrc de l'éqiuiiiuu (i^'") devient 
_ « 1 
u — 1 + 
1/ (1 + ^.y 
cette expression est donc toujours positive, que l'on prenne le signe — 
ou le signe -\~ , ;\ condition que la grandeur f, soit positive, comme c'est 
le cas ici. Pour x = 1 le premier membre de [^"') devient égal à 
1 
\' (1 + ^2) 
Cette valeur serait négative si était négatif, ainsi que.. nous le 
supposerons dans un cas suivant, mais elle est positive si est positif, 
ainsi que nous l'admettons en ce moment. Si le signe de la valèur du 
premier membre de (vp'") n'est pas le même pour x — ^ que pour x = \, 
il doit y avoir une valeur de x, comprise entre 0 et 1, qui satisfait à 
Mais dans notre cas le premier membre de {^"') a le même signe 
pour X = 0 et x = 1. Il ne résulte évidemment ])as de là que {(p'") n'a 
pas de racine entre x = 0 et = 1 ; cette équation pourrait en effet 
en avoir un nombre pair. ]j' équation n'a pas de racine, lorsque le lieu 
géométrique est imaginaire; mais si ce lieu existe, comme c'est le cas 
lorsque 1 ^ ^ ^' ~^ — —, et que le lieu géométrique soit une (igure 
fermée, il faut qu'il y ait deux racines. vSi Ton représente grajjliique- 
ment la valeur du premier membre de (>?)"') entre x = 0 et x — l , la 
courbe qui représente cette valeur commence et finit par une ordonnée 
])ositive. Si la courbe présente des ordonnées négatives, il faut qu'elle 
ait au moins deux fois une ordonnée nulle, et par conséquent aussi 
qu'elle passe par un minimum. Donc, s'il y a deux valeurs de x satis- 
faisant à (^"'), il faut que l'équation, que l'on obtient en differeutiant 
par rapport à x , ait une racine. 
