LES OSCILLATIONS AUTOUR d'uNE POSITION n'ÉCiUILTBUE ^ ETC. 247 
recherches un mécanisme très simple, savoir un point matériel assujetti 
à se mouvoir sans frottement, sous Faction de la pesanteur, sur une 
surface donnée, dans le voisinage du point le plus bas. Chaque fois que 
nous aurons traité un des cas 6'^ 4, nous passerons à un mécanisme 
arbitraire, à deux degrés de liberté. 
Mom^ement au fond (Vune surface. 
1. Nous commençons donc par traiter le mécanisme simple, que nous 
prenons comme base de nos recherches. Si la surface est à courbure 
positive dans le voisinage du point le plus bas 0, que nous prenions le 
plan tangent en 0 comme plan XY , les sections principales de la surface 
en ce point comme plans XZ et YZ, et que les z soient comptés posi- 
tivement vers le haut, l'équation de la surface dans le voisinage de 0 
prend la forme: 
^ = ^ (^1 + ^^y' + ^h^^ + 'h^'''/ + 'h^i- -\-chi/^ + ■ ■ ■)> (1) 
ovi e, et sont positifs. 
Les équations du mouvement du point matériel sont alors: 
Tirant parti de (1) pour éliminer z, on peut les mettre sous la forme: 
OX dx VXOI/ Cl/ C>X CI/ 
^+^^^+^^^ 
(2) 
Soit h la petite grandeur (petite p. ex. par rapport aux rayons de 
courbure principaux et li.^ de la surface en 0) qui fait connaître 
l'ordre de grandeur a; et y; si Ton néglige les termes d'ordre k- et d'ordre 
supérieur, les équations (2) peuvent s'écrire: 
X -\~1c. x=Q, ] 
