SUR UNE CLASSE PAI\TICU LIÈRE D'ÉQUATIONS 
DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES DU SECOND ORDRE 
PAR 
W. K A P T E Y N. 
1. Ou sait que l'équation différentielle de Lkoendre: 
(1 - 2.. I + . [n + 1)// = 0 , (1) 
oii n représente un nombre entier et positif, est satisfaite par un pol}^- 
nonie P,i(v-) du degré, et par une fonction Uni-) qui peut s'écrire: 
Qn [z) = R,, [z) — p. {z) locj , (2) 
où 
^ -, r 2 ^'^ — ^ 1 , 2, n ■ — ■ 5 ,2m — 9 , , "1 
L l. n à{n — i) o[u — 2) J 
Cette fonction Qn{z), la fonction spliérique de deuxième espèce, peut 
encore s'écrire 
1 
Qn{z)=(^^dx. (3) 
J Z X 
-1 
Pourtant, les formes (2) et (3) ne sont pas tout à fait équivalentes. 
En effet, la dernière forme détermine une fonction qui n'a de significa- 
tion qu'aussi longtemps que x n'est pas un nombre réel compris entre 
— 1 et -j- 1. La droite qui joint ces deux ^Joints est donc une ligne de 
discontinuité. Pour savoir comment se comporte la fonction au voisi- 
nage de cette ligne de discontinuité, nous déterminerons 
A = Qu [a + * f) — Q„ [a — ii), 
