SUR UNK OLASSK l'ARTlCU LIKIIE u' KCilJATlONS , KTO. 115 
représente aussi un polynôme. Cela exige que 7»' (a-) et 6' (j-') satisfassent 
Il certaines conditions. Pour les trouver, nous dévelo])perons l'expres- 
sion ci-dessus (lans le voisinage tle a- = x at x = /3. 
Dans le voisinage de u: = x on trouve : 
'=[''w+(")'''w+-][-(:£)'^+.,^+{.V^^i3+--] 
Comme cette expression ne ])eut pas contenir des puissances négatives 
de {u; — a), il faut que 
— AIl{x) = Q 
— A Rio) + A' li{x) + A S[x) = 0 , 
c. à d. que les polynômes R{x) et 8{jc) doivent satisfaire aux conditions 
i?W = o I 
R\x) = S{x). ' 
Eu développant de même au voisinage de x = jo, on trouve les 
conditions : 
R{(3) = 0 
R'{(2) S{fi). 
(9) 
Je suppose ici que A et £ ne sont pas nuls; en effet, si l'on avait 
A = 0 et A' — 0, il suffirait d'avoir, dans le premier cas, R{x) = 0. 
Les conditions ainsi trouvées donnent: 
R {x) = {x — x) {x — /3) r {x) I ^^^^ 
S{x) — R'{x) = (x — x) (x — /3) A (x) \ 
où r{x) et /i{x) représentent de nouveau des polynômes. 
En introduisant la première de ces équations, la dernière devient 
S{x) = {x-^x) {x—(3) [r'{x) + /i{u^] + i^^x—x — i3) r {x); (11) 
et, si l'on substitue maintenant ces valeurs dans /, ou trouve 
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