24(1 .1. E. VRUSCTIAFFELT. 
v..„ = + V, - r.) X - ^^"^4-""^ ■ - Po, -•^) - 
— P21 03 — Po, oC) — 8 C„ p^, ^,]. 
La frontière entre v.x-pi^ vi- et v^-pi <C ''/,■ est donc : 
0 = - p, , (p^ - Po, + C/,. p„ iiS — p,„ + 
+ 3 C/, p-, , X {3 — p„, ^i) + C\ p, , P3„ {x — /3). 
C'est une courbe du troisième degré, tout comme la troisième limite 
de M. KoRTUvviio (1. c. p. 2-tl), à laquelle elle correspond. Pour Texa- 
miner de plus près, je suivrai l'exemple de M. Korteweg et j'intro - 
duirai un paramètre z, en posant: 
^ = P— Po, ^'5 
au moyen de ce paramètre, a et l3 sont exprimés de la manière suivante: 
^ = ^ [— P, , + f^i.- P2, ~ — C'-, p, , p,o] 
/3 = ^ [— Po, P,, + C, jpo, Po, — 3 p-,,j ~ — C-,,. p,, P30], 
oii 
iV=C\.p,, p.,„(p,„-l)_3(7,p^,.^. 
Comme x et ,'3 sont des fonctions unicursales de toute droite 
parallèle à la droite (3 = p„, a {On sur la figure) ne coupe la courbe 
qu'en un seul point à distance finie. Si nous posons 
_ Ck P30 (Po, — 1) 
3p„ 
ce qui est une grandeur positive, puisque Pg, ^ 1 (voir la note au bas 
de la page 247), la droite ii = 'pf^^ x -\- , représentée en pointillé {CD) 
sur la figare, est une asympote à la courbe cubique. Cette dernière se 
compose de deux branches, dont Tune (r/ (7 /iV/'), située au-dessus de 
l'asymptote, est donnée par des valeurs de z plus grandes que 2, , tandis 
que l'autre {d" OHFd'"), au-dessous de Tasymptote, correspond à z<^z^ . 
X s'annulle non seulement pour z = Q, mais encore pour deux autres 
valeurs réelles de , dont Tune est positive, l'autre négative: je nom- 
merai la racine positive z^, la négative z^. De même p s'évanouit pour 
