SUR LES DIVEKS ETATS I)' ÉQUILIBRE, ETC. 
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tangent à 7 est parallèle au plan correspondant x et coïncide donc avec 
le plan /3 '). 
La démonstration en est très simple. On n'a qu'à se figurer un 
deuxième plan oî dans le voisinage immédiat de x et on détermine par 
la méthode des moments le centre de gravité corres^pondant S' '. A cet 
eilet nous prenons a comme plan fondamental. La distance de S à 
ce plan fondamental est égale au moment du segment découpé par a 
divisé par son volume iV . Pour trouver le moment^ par ra])i)ort à ly., 
du segment appartenant à x ^ nous n'avons qu'à ajouter au moment du 
segment primitif celui d'un corps en forme de coin et retrancher celui 
d'un autre corps eu forme de coin, tous deux enfermés entre les plans 
x et X et de même volume. 
Or, le volume de ces portions cunéiformes est une grandeur infini- 
ment petite du premier ordre, et il en est de même de la distance de 
leurs centres de gravité au plan x. Leurs moments sont donc du second 
ordre, et ils ne modifient le moment primitif que d'une grandeur de ce 
dernier ordre. Mais, pour déduire la distance de *S" à x, nous devons encore 
diviser le nouveau moment par f V . Nous voyons ainsi que la distance de 
& 2. X ne difiere que d'une grandeur infiniment petite du deuxième ordre 
de celle de /S à :x ^).. Tel n'est pas le cas pour le déplacement de <S à iS' 
daus une direction parallèle à x, ainsi qu'on peut s'en convaincre aisé- 
ment en prenant les moments par rapport à un plan perpendiculaire à ot,. 
Il faut donc qu'en S le plan tangent y coïncide avec le plan /3. Mais 
alors, en vertu de sa construction, la surface tt n'est autre chose que 
le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point ¥ sur les plans 
tangents à la surface 7; c'est-à-dire la podaire de 7 par rapport au pôle F. 
') En 1746 déjà ce théorème a été donné par Bouguer. Voir aux pages 259 
et 270 de son „Traité du navire", mentionné dans la note 1 de la page 362. 
11 mérite de porter son nom au lieu d'être attribué à Dui>in, suivant Appei.l, 
loc. cit., pp. 192 à 195. 
') On connaît immédiatement le signe de cette grandeur infiniment petite et 
ce signe reste toujours le même. En effet, si nous comptons les distances comme 
positives au-dessous du plan a, il faut ajouter un moment négatif pour l'un des 
coins et en retrancher un positif pour l'autre. La distance de S' à a |est donc 
toujours plus petite que celle de S à «, et il résulte de là, en rapport avec 
cette circonstance, que le plan tangent en 5 à a- est parallèle à a, que la sur- 
face a- est partout convexe. C'est ce que Dupin a découvert le premier en 1814; 
voir pp. XXX et 26 de son mémoire: „ Applications de géométrie et de méca- 
nique", Paris, 1822, ou bien le livre d'ApPEi.L, à la page 195. 
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