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Or, il est facile de démontrer qu'il n'y a pas moyen d'abaisser du 
pôle d'nutres normales sur une podaire que celles qui sont ou même 
temps normales à la surface primitive, et inversenunit '). 
On peut donc, dans la construction que nous venons de donner, si 
l'on fait abstractioii pour le moment de la stabilité, remplacer la sur- 
face - par la surface a-, et Ton arrive ainsi au résultat suivant: 
Pour trouver les états d' équilibre possibles , stables et instables, cVun 
corps fottant donné, ayant un certain poids spécifique relatif s et un 
volume V, on détermine le lieu géométrique <7 des centres de gravité des 
segments de volume s V découpés par des plans. Sur cette surface i on 
abaisse des normales FS a partir du centre de gravité F du corps tout 
entier. Chacune de ces normales correspond à un état d'équilibre , dans 
lequel cette normale occupe une position verticale 
*) Soient le pôle, S un point quelconque de la surface primitive <r, |3 le 
plan tangent en S, (B' un plan tangent voisin, P le pied de la perpendiculaire 
abaissée de F sur jS, P' celui de la perpendiculaire de F sur (2'. Déplaçons /3" 
parallèlement à lui-même de manière à passer par S ; alors le pied de la per- 
pendiculaire abaissée de F sur ce plan ne subit qu'un déplacement du second 
ordre. Mais ce pied est situé, tout comme P, sur la sphère décrite sur FS comme 
diamètre, de sorte que le plan tangent en P à la surface podaire t coïncide 
avec le plan tangent à cette sphère. Si l'on réunit donc le point P au point 
M qui est situé à mi-chemin entre les points F et S, PM est la normale en 
P à la surface t; mais cette normale ne se confond avec FP que si P tombe 
en S, et alors FP = FS est de même normale à la surface o-, pxiisqu'elle est 
perpendiculaire au plan tangent ^ à cette surface. 
*) Cette construction, qui a été donnée pour la première fois par Dupin 
(voir à la page 49 de ses „ Applications", ou Appei.l, p. 202), se déduit plus 
directement encore du théorème de Bouguer, en remarquant que le poids du 
corps, dont le point d'application est en F. et la poussée en S doivent se faire 
équilibre et agissent donc suivant une même verticale. Mais cette droite est 
alors perpendiculaire à la surface de niveau a, donc aussi perpendiculaire au 
plan tangent à o- au point S, qui lui est parallèle; c'est ce qu'il fallait démontrer. 
C'est ainsi que la construction est déduite dans Appell, Ioc. cit., pp. 192 à 
195 et 202; mais nous avons voulu montrer comment on peut la déduire du 
théorème de Huygens, sans autres considérations statiques. Cette voie nous 
mène d'ailleurs tout naturellement aux conditions de stabilité, comme nous 
allons le voir ci-après. 
