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D. J. KORTEWEG. 
Mais, si nous représentons par p la distance de F au point P , t) 
nous avons: 
p2 = _ ,.)2 4_ t2 .^2 _ ,2 _ _|_ £2 + .^2 _^ ^^2 . (IQ) 
on trouve donc^ en négligeant t", 
p2 = ,2 + (^^_1^.2 + ^^_l>),2. („) 
Il résulte de là que la stabilité exige en premier lieu que la surface 
0- soit convexe autour du ])ied de la normale, et tourne sa concavité 
vers F; mais eu outre il faut que chacun des deux rayons de courbure 
principaux soit plus grand que la normale FS elle-même 
Or, cette dernière condition est tout à fait identique à celle qui doit 
être remplie pour que FS soit, par rapport à un véritable iiiiniuium 
parmi les droites de raccordement avec F-). Nous rappelant qu'en 
vertu de ce qui a été démontré à la note 2, p. 369, la surface o- doit 
toujours être convexe, nous pouvons donc résumer comme suit notre 
résultat: 
') Sous cette forme on reconnaît aisément les conditions de stabilité trou- 
vées par DuPiN, telles qu'elles sont données par Appell, loc. cit. p. 217. 
Mais DuPiN les a lui-même données en même temps sous la forme que nous 
donnons dans la suite; toutefois il paraît ne pas avoir songé à la possi])ilité d'une 
situation de F du côté de la convexité de t. Voir p. 25 de son travail déjà cité. 
') Pour la distance f de F à un point S {x\ y\ z') de la surface s- 
nous trouvons notamment immédiatement, avec une approximation suffisante, 
c^- 2cz' -\- x" ij'^, ou Lien, en vertu de (8), 
une expression qui devient réellement un minimum pour le point 0, lorsque c 
est plus petit que /?, et B^. 
La condition pour que la normale FS = FP soit réellement une plus courte 
distance pour les surfaces o- et ît est donc toujours remplie pour les deux sur- 
faces à la fois, si la surface o- a une courbure positive et tourne en S sa 
concavité vers F. Dans les autres cas elle est différente pour les deux surfaces. 
Ainsi, si la surface <t est à courbure positive, mais qu'elle tourne sa convexité 
vers F, la droite FS 7^ FP est une plus courte distance pour cr, mais une plus 
grande pour t. 
