Adoptons, par exemple, la seconde. 
On ne doit plus maintenant a^oir aucune difficulté à com- 
prendre comment s'opère, fig. 25, l'application de cette série 
au tracé des carrés types, et à leur traduction, fig. 26, sur 
l'échiquier, qui fait voir le problème résolu. 
Or donc, comme il n'est aucun choix de cases, initiale et 
finale , qui ne rentre nécessairement dans un des trois cas 
dont nous venons de traiter successivement, il en résulte que 
le problème du cavalier aux échecs se trouve ainsi entière- 
ment résolu dans toute sa généralité. 
§ V. Remarques sur les solutions fractionnées . 
Nous pourrions donc borner ici notre travail, dont l'éten- 
due surpasse malheureusement le médiocre intérêt de la ma- 
tière; mais l'usage des solutions fractionnées donne lieu à des 
résultats assez curieux , pour que nous ne puissions résister 
au désir de compléter cet exposé en en disant quelques mots. 
Nous avons vu que lorsqu'il s'agit simplement de résoudre 
le problème, sans s'imposer d'autres conditions, le fraction- 
nement en ~ suffit toujours pour y réussir: mais si, à cette 
obligation, on ajoute celle de donner à la solution de la sy- 
métrie et de l'élégance, on ne tarde pas à se convaincre qu'il 
est nécessaire alors d'avoir recours à des fractionnements 
plus nombreux. 
Dans le sens de ces recherches, ce fractionnement peut aller 
fort loin; en voici trois exemples gradués. 
Au moyen de la formule de série et des lignes de commu- 
nication, il sera facile de suivre le tracé sur carrés types et 
par suite sur l'échiquier. 
