Dans l'état actuel de la science , cette question doit être 
résolue par la négative. Déjà Euler avait déclaré qu'elle pa- 
raissait échapper à toute analyse, et les remarques qui précè- 
dent semblent confirmer les prévisions d'un géomètre qui, en 
ces sortes de matières, se trompait rarement. 
S'il ne s'agissait que des solutions entières, on pourrait, 
moyennant un calcul pénible et sans élégance, en déterminer 
le nombre ; mais le fractionnement des systèmes vient mêler 
à cette détermination une complication dont il est probable 
que les efforts de l'analyse actuelle ne pourraient triompher. 
On peut, par un seul exemple, montrer jusqu'oii ces com- 
plications peuvent aller. 
Ne faisons usage que du seul fractionnement en quatre 
(on a vu qu'il peut aller bien plus loin); dans cette hypothèse, 
si l'on donne les lettres a, h, c, cl, pour indices aux fractions 
de chaque système , pour arriver à toutes les formules de 
série possibles , il s'agira d'insérer un à un tous les termes 
de la série 
R% R^ R% R^ r-, r", r% 
entre les termes de la série 
B% B^ B% B^ b\ ù\ b% 
chacune de ces séries partielles pouvant prendre tous les ar- 
rangements dont elle est susceptible. 
Or, pour une seule de ces séries, le nombre de ces arran- 
gements est 4o320 ; donc, comme un quelconque des arran- 
gements de la première série peut être interposé dans les 
