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Schreiben wir nun für x — o), so folgt 
F{h,o>) = Fik,xp)-F{k,g^) (llj 
cos 0) — cos qp cos xp -}- sin q> sin i/> \/l — ain^ w (12) 
und mit Rücksicht darauf, dass 
ein ( — v) = — sin q>; 
d qi 
d ip 
yl — k'^ sin^ cp I [/l — sm^q> 
0 0 
oder F{k, — cp) = — F(k,q>) ist, verwandeln sich die Gleichungen (11) und (12) in 
die folgenden 
F{k, 0)) = Fik, .p) + F{k, q>) (13) 
cos 0) = cos -tp cos qi — • sin rp sin q> \/l — ^2 ^{-^1 (14j 
die Gleichungen (13) und (14) enthalten somit das Additions-, die Gleichungen 
(11) und (12) das Subtractions-Theorem für die ellii^ tischen Integrale der ersten Art. 
Die Gleichung (14) kann auch durch die folgenden ersetzt werden. 
sin q) cos ip J \p -\- sin \p cos q J qi 
1 — sin"^ q sin'^ ^ 
cos t/; COS q — sin 1/' sin q J q J ^ 
k'i sin''^ q sin^ <p 
^ tg<~{)Jq-\-tgqJ'\) 
^ 1— tg^tgqJqJ<p 
(15) 
(16) 
wobei /I q> = \/l — sm^ q J^^ = ^1 — k^ sin^ bedeuten. 
II. 
Durch wiederholte Anwendung des Additions- und Subtractions-Theorems 
lassen sich ohne Schwierigkeit die Formeln für die Multiplication und Division 
der elliptischen Integrale der ersten Art aufstellen. 
Für die Multiplication ergeben sich die Formeln: 
F(k,0))=: m F{k,q) ; tg \ (ijpn-H — qr\—\ ) — tg qn ^q 
für die Division dagegen 
und 
cos qnn + cos qPn— 1 
F{k,q) == — F{k, qm ) 
2 cos q cos qn 
1 — k^ sin^ q sin"'^ qn 
So würde beispielsweise für die Verdoppelung folgen 
m = 2 = w -|- 1, also 7i = l, 1 = 0 
und 
qn 
q, qn—l = 0 
(18) 
(19) 
