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Wird nun für x = o) gesetzt, so folgt 
E (/£, oj) = E(k, ii>) — E {k, q>) -|- k"^ sin a> sin <p sin o> (6) 
cos oj ~— cos (|> cos q> -|- sin iZ> sin q> \/l — k- sin^^oj , (6) 
für q) — — q) liefern die Gleichungen (6) und (7) 
E (k, or) = E(k, (f^) -|- E(k, q>) — k'^ sin sin sin , . . . . . (8) 
cos w = cos ip cos q> — sin sin q y 1 — k'^ sin^ o) , (9) 
In den Gleichungen (8) und (9) ist das Additions-, in jenen (6) und (7) 
das Subtractions- Theorem für die elliptischen Integrale der zweiten Art aus- 
gesprochen. 
II. 
Zu dem eben entwickelten Resultate gelangen wir auch auf dem folgenden 
Wege. Es ist 
d [Eik, q)] = + k^ C0S2 q, 
d [E{k,x)] = J^-^ cOS-2 X ^ 
(10) 
Substituiren wir aus den Gleichungen 
1 — k'^ sin'^ic ] 
1 — k'^ sin^q 1 
cos X = cos cos q> -f- sin <p sin q y/l — ^ . ^^^^ 
COS q = COS 0/ COS X -j- sin sin x \/^ 
COS cos 00 
die Werthe für -. und in die Gleichungen (10), so folgt 
Jq Jx 
d [E {k, q>)] = (b'^ -j- k^ cos qi COS cos x) ~— -\- k^ cos q> sin d> sin xdq 
d [E {k, x)] = (b'^ -\- k^ cos q) cos 0» cos x) -f- cos x sin ^ sin q) dx 
d(p d X 
Vermöge jeder der beiden Gleichungen (11) ist aber — = — — — 
und somit 
d [E(kj (/')] 4" d[E{kj x)] = k'^ sin 0/ (cos q sin x dq -\- cos x sin q dx) 
und durch die Integration beider Theile der Gleichung 
E(^k, q) -\- E(k,x) ~ k'^ sin 4^ sin (/> sin (12) 
die Gleichungen (11) können aber auch durch die Gleichung 
cos = cos qi cos X — sin (p sin x — k'^ sin'^ ^ ....... (13) 
ersetzt werden. 
Macht man nämlich die Gleichungen (11) rational und addirt in jeder 
beiderseits sixx^q sin"^.r, so folgt aus beiden nach einfacher Reduction 
cos — cos q cos X 4^ sin q sin x (14) 
Um zu entscheiden, welches von den beiden Vorzeichen zu nehmen 
l'rinrrken wir, dass für A — 0, die Gleicliungeu (11) liefern 
cos X — cos (it — q) und cos * — co.s (O^ - r) 
