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dieselben Resultate liefert die Gleichung (14), wenn das untere Zeichen inj 
zweiten Theile der Gleichung beibehalten wird; denn es ist 
cos = cos (<p -f- x) und cos x = cos (a> — q>)j cos q> = cos — j.j 
Es wird daher die Gleichung (12) auch unter der Bedingung 
cos ^ = cos q> cos X — sin \p sin x y/l — ßin^ dt 
ihre volle Giltigkeit behalten. 
Bestimmt man nun die Integrations-Constante so, dass 
X = 0 und cos dj = coaqi oder dt = q> 
wird, so folgt 
E{k,cf>) -|- E(k, x) — E(1i^ 'h) -f sin sin sin a; (15) 
Schreibt man nun wieder für a; = 0/ und 0« = w, so folgt 
E{h, 0) ) = E(k,(ii) -|- E{k, ^) — sin (]p sin sin w (16; 
cos 0) = cos cos ^ — sin sin y/l — /t'^ sin^^oj (17 J 
für ?) = — (p wird 
£(Ä, w) = E{k, d)) — E{k, q>) -j- k^ sin <j& sin 4/ sin w (18) 
cos w = cos q> cos 4^ 4~ * ^ 1 — sin^(/> (19) 
III. 
Analog den für die Multiplication und Division der elliptischen Integrale 
der ersten Art gefundenen Formeln , lassen sich solche für die Multiplication 
und Division der elliptischen Integrale der zweiten Art aufstellen. 
Für die Multiplication ergeben sich die Formeln 
E(k, } — m E{k, (p) — k^ smq> ^ sin g)j sin g^^ 
-j- sin qp.2 sin </'3 + • • • + sin (Pm—i sin (pm | 
(•20) 
tg ^ {<Pn+l — 9'n— 1) = tg qin J <P 
Bestimmt man aus der ersten der Gleichungen (20) E{k, <p) und setzt für 
sin q>.2, sin qp^ die aus der Gleichung 
2 cos q) cos qin 
cos q>nn + COS q>a—l = — yr. — — — 
oder 
- ' ' . . 2. sin q)n COS q> J q> 
Sin q>nn -r Sm q>n—l — — — 7—^ ^ 
1 — k^ Sm^ q) sm^ qa 
folgenden Werthe ein, so ergibt sich die Formel für die Division der elliptischen 
Integrale der zweiten Art. 
IV. 
Wenden wir die Substitution 
q(x) 
d>{x) 
beim elliptischen Integral der zweiten Art an, erhalten wir 
