dq> \/l — k'^ Shl^qi = 
(1 — k-i sin'^ <p) 
d(f> 
Jqi 
(1 — /£2 siii2 g.) 
dx 
Jx 
1 — (1 — k"^) Hxn^x dx 
COS''^ x Jx 
' (2) 
Durch theilweise Integration des zweiten Theiles der Gleichung- und nach 
partieller Substitution von sin g) = itg x ergibt sich 
E{k, qi) = tgqy J (p -\- F(k, (p) — i 
dx \/l — b'^ s'ni^x 
oder 
X 
dx \/i — b'^ sin^ x = tg<p Jcp -|- q>) — E{k, (f>) 
wobei X == arc {t g = i sin g) = i ^ * * 
(3) 
(4) 
zu setzen ist. 
Die Gleichungen (3) und (4) bieten ein Mittel dar, ein in imaginärer 
Gestalt erscheinendes Integral der zweiten Art durch einen algebraischen Aus- 
druck und das elliptische Integral der ersten und zweiten Art reeller Form 
auszudrücken. 
C. Eliiptisches Integral der dritten Art. 
I. 
Um das elliptische Integral der dritten Art 
Jlih, k, q>) 
[1 -f- /i siu'^ (jf)] \/ [ — sin^ (p 
(1) 
0 
in ähnlicher Weise, wie dies bei den Integralen der ersten und zweiten Art 
geschah, zu transformiren ; erscheint es am zweckdienlichsten, die Relationen 
cos X — cos ^ cos q) -j- sin ^ sin q> y/l — sin^^.r 
cos q = cos ^ cos X -j- sin sin x \/\ — k^ sin'g 
(2) 
und 
d q> 
j7 
dx 
~j7 
(3) 
der gedachten Transformation /u Grunde zu logou. 
