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Werden nun nach der Formel 
die beiden Bögen vereinigt, so ergibt sich unter gleichzeitiger Berücksichtigung, 
dass — Jdj sin «p sin x = cos — cos q) cos x, nach einigen Reductionen 
77 (Ä, h, ^) = 77(/i, /£, g.) 4- 7:7(/*, A-, a:) 
(ß sin sin 0; sin x \ 
tq = 1 
1 — 7 cos q' cos 0^ cos X J 
(10) 
wobei der Kürze wegen 
\rh ^ _ \/h {h -f . ^ 
\/l + Ä) (/i + ' V^l -f /i 1 + 
gesetzt sind. 
Schreibt man endlich ii/ = oj, a? = dj so folgt 
77 (Ä, k, oj) = n(h, k, (p) -f 77(/i, k, q>) 
i / ß sin q) sin a> sin o; \ "| , ^ 
— a {arc I « o = — — / ' ) \ , . . (11) 
y \ \ -\- y cos q> cos cos w / J 
cos 0) = cos cos a> — sin 9 sin >L ^/l — sin^ 0; (12) 
In den Formeln (11) und (12) ist somit wieder das Additionstheorem für 
die elliptischen Integrale der dritten Art enthalten. 
Lässt man — q> an Stelle von 9 treten, so wird 
77 (/i, k, w) = r/(/i, /i, ^) — ll{k, k, q>) 
r / ß sin rp sin sin \ ) 
+ a {arc Ho = — 1 } . . . (13) 
[ \ 1 — y cos qi cos cos 0) / } 
cos 0; =: cos «p cos ^ -\- sin q;' sin Oj \/ \ — k?- sin'^ o; (14) 
worin die Bedingungen für die Subtraction der elliptischen Integrale der dritten 
Art enthalten sind. 
Macht q' = ^ und bestimmt o = q>2 mittelst der Gleichung 
tg i 0) = tg q J q., 
so erhält man für die Verdoppelung der elliptischen Integrale der dritten Art 
Il{h, k, (/,) = 277(/<, k, q>) — a arc Ita =- — ^ 12_ _ \ 
. V 7 y I ^ I — ^ ^^g2 COS / 
Wird aus der Gleichung (15) ll{h, /i, qi) bestimmt und für qi aus der 
Gleichung 
1 — 2 sin"'^ fp + k'^ sin"^ * 
cos qKy ~ . ;:- 
1 — sin* q> 
der sicli ergebende Werth eingesetzt, so ergibt sich die Formel für die Zwei- 
theihuig der ^dliptisehon Integrale der dritten Art. 
. . (15) 
