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Gibt man den Gleichungen (2) und (3) die folgenden Formen 
i n{h, /i, o;) = — i- F {k, q>) + ^ ^ n{h, h, <f) 
— __ / t q 
(+ + +) 
so folgt daraus, dass ein elliptisches Integral der dritten Art, welches in imaginärer 
Gestalt erscheint, durch ein in reeller Form erscheinendes Integral der ersten 
und dritten Art ausgedrückt werden kann. 
Weitere Transformation der elliptischen Integrale aller drei Arten. 
A. Elliptisches Integral der ersten Art. 
Setzen wir in dem Integral 
dq> 
0 
sin g) = sin ^ und = 4- ip, 
so entsteht 
A qi 
Aus den Gleichungen 
cos dl 
COSi^ 
(1) 
und 
folgt 
tg ^ 
h sin (p — sin \p 
sin qi — sin t/;j cos 4; cos (pj sin d>, 
k sin . k sin 
1 -f- Ä cos ^1 •) ^ -\. 2 k cos a., 
cos 0 = — 
1 -\~ k cos ^ 
yi -\~ k'^ ^ 2k cos O;, 
Wird nun durch ausgedrückt und behält man das untere Zeichen 
bei, so folgt 
dq> 
\/i — k^ 
d 4j 
V/l -f k-^ + 2k 
cos (p, 
Setzt man ferner iLj = 2o), so ist 
1+k 
k sin 2 w 
4:k 
(1 + 
\/l + 4- 2/c cos 2oj 
sin 2 0) 
^tg q = 
1 + Ä 
sin 2. 
(2) 
(3) 
V/ 1 -f k:^ -|- 2 Ä cos 2 w ^ + cos 2 w 
ein Ausdruck, der bekanntlich der Landen'sclien Substitution zu Grunde liegt. 
