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Zu demselben Resultate gelangt man aber auch, wenn das obere Zeidieu 
in der Gleichung (p =■ ip, -j^ beibehalten wird; denn es ist 
d<p 
\/ i -\- k"^ — 2k cos 0;, 
Macht man hier ip, = tt -(- 2W, so folgt 
d(f> 2 r do) 
l-\-ft 
V 
4k 
sm vi; = — 
(1 + kyi 
k sin 2tj> 
sin2 
\/l + h'^ -l 2h cos 2o; 
aus der letzteren Gleichung ist ersichtlich, dass von den zwei für q> erhaltenen 
Werthen immer der negative zu nehmen ist. 
Nach diesen Bemerkungen kann man setzen 
d(p 
0 
oder 
1 + Ä 
do) 
1+Ä 
l^k 
F{k„ o>) 
d(o 
wobei der Werth für o) aus der Gleichung 
sin 2 0) 
lg q, 
oder 
k -\- cos 2 
sin (2 — (f)) = k sin ?> 
2 V/'Ä 
(4) 
(5) 
(6) 
zu berechnen und L = ~ — v— r- zu setzen ist. 
^ 1 -f- ^ 
Eine Untersuchung der die Werthe von k-^ und oj darstellenden Gleichungen 
zeigt, dass o) <^ (p und kj ^ ist. In den Gleichungen (4) — (6) ist daher die 
Eeduction eines elliptischen Integrals der ersten Art auf ein anderes derselben 
Art mit grösserem Modulus und kleinerer Amplitude ausgesprochen. 
Schreiben wir die Gleichung (5) in umgekehrter Ordnung an, 
1 + k. 
Fiki w) = 
Fß, cp) (7) 
so ist darin die Eeduction eines elliptischen Integrals der ersten Art auf ein 
anderes derselben Art mit kleinerem Modulus und grösserer Amplitude aus- 
gesprochen; dabei sind g) und k aus w und k^ zu berechnen. 
B. Elliptisches Integral der zweiten Art. 
Die Substitution k sin qi — sin \b und = j;, ^ bei den elliptischen 
Integralen der zweiten kri angewendet, liefert 
