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cos d) d ^ 
[1 -y k cos J;,] ddj] 
-I- sin dj == sin ^ -|~ ^ — '^"■^) 
v/1 -}- '=f 2 k cos ^p, 
y/l -f -j- cos 0;, 
J>1 + -f- 2 COS (i;, 
Setzen wir wieder = 2 w oder ipj = tt -|- 2 o;, so wird 
do) 
d(p J cf! =tz — h sin q> -\- (1 — k) 
+ (1 + ^0 
oder 
g,) _ sin 4- (1 — /t) w) -f (1 -|- o;) . 
1 4-k 
und wegen F(Ä', o;) = — ^ — F(Ä, ?<) auch: 
I (1 — ^2) Fik, (p^ = k sin + E(k, g,) _ (1 -f <o) , 
(2) 
(3) 
(4) 
d. h. jede elliptische Function der ersten Art lässt sich durch einen algebraischen 
Ausdruck und zwei elliptische Integrale der zweiten Art ausdrücken. 
C. Elliptisches Integral der dritten Art. 
Auch bei den elliptischen Integralen der dritten Art lässt sich die Sub- 
stitution k sin q> = sin ^I; und (p z= — in Anwendung bringen. Wir 
erhalten 
(p 
dq> 
= n{h, k, <p,) 
0 
l-\-k 
[l -\- h sin2 qi] A (p 
1 -f -j- 2/j cos 2 
l-\~k 
1 -\- k'^ h -\- 2 k cos 2o) — h co6'^ 2w ^-^ j^^i 
(1 _|- /j)2 — 4k sin2w do) 
(1 -f /c)2 -|- 4{h - k) sin2 o) — 4 h sin^ 
A' 0) 
(1) 
(2) 
0 
Wird der rational gebrochene Theil rechter Hand vom Gleichheitszeichen 
m 
In zwei Ausdrücke von der F( 
Reductionen 
n -\- o sin'^ 
zerlegt, so folgt nach einigen 
