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Um zu entscheiden, welches von den beiden Vorzeiclien im Zäliler dcif 
Braches zu nehmen ist, bemerken wir, dass für = 1 die Gleichung (4) liefert : 
1 — sin2 w. 
cos (p = — — r — -— oder sm^ (p = — - — 
^ 1 + sm^ 9, ^5 1 -|- cos y 
wonach sich die Wahl des Vorzeichens leicht ergibt. 
Wird in der Gleichung 
sm w , = -1- \/ r— 7- — j — für h sm 9 = sm /, 
^\ — V (1 -[- cos 
so folgt: sin ip ^ = — ^-j — 5 führt man anstatt der Bezeichnung 
2 cos 2 
etc. jene (p,, • • • • ^o wird: 
sm^ tp 
k sin (f, ; sin tpj = 
„ , sin cp.^ = 
sm Im = h sm ym— i ; sm 9m = ■ 7—5 (o) 
cos ^ Xm 
Die Gleichungen (3) und (5) bieten ein bequemes Mittel dar, um den 
Werth des elliptischen Integrals der ersten Art mit jeder beliebigen Genauigkeit 
zu erhalten. Wie immer auch der Werth des Modulus beschaffen sein mag, so 
genügen 4 Transformationen vollkommen , um den Werth der vollständigen 
elliptischen Function bis zur 7. Decimalstelle mit Sicherheit zu erhalten. 
B. Elliptisches Integral der zweiten Art. 
Unter der Voraussetzung, dass k sin tp = sin ^ und cp sehr klein oder 
k sehr nahe der Einheit liegt, wird auch 
E{k, (f) 
cos dj d(f = 
cos [arc (sin = k sin tp)] c?(p 
cos {k y) d(p = -T- sin 
Ii 
gesetzt werden können. 
Nun ist aber für hinlänglich grosse Werthe von m 
EÜi, 9) = Lim [2"' E{k, tpm ) -~ k'^ sin^ 9^ sin 9 — 2 ^i^^^ 9.^ sin 9, 
- 2" 
k'^ sin2 9ni sin 9m— 1] 
(1) 
