' k 
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™ sin k (fm — k'^ I sin^ tp, sin cp -|- . . . 
2*"— ^ sin2 9m sin ipm—i \ .... (2) 
Zur Berechnung von cpj, 92 dienen die Gleichungen 
. 17. . sin i 9,n— 1 
Sm Am = k sin Cpm— 1 ; Sm = ^-r—, 
^ cos i Am 
Auch hier wird für alle Werthe von k und = 4 der Werth der voll- 
ständigen Function bis auf die 7. D ecimalstelle richtig erhalten. 
C. Elliptisches Integra! der drittea Art. 
Die Substitution k sin = sin liefert bei den elliptischen Integralen 
der dritten Art 
i -|- /i sin'^ 9 j J I 
1 -j ~ sin^ li/ 1 cos 
(1) 
0 OL 
Für sehr kleine AVerthe von 9 oder solche von k, welche der Einheit sehr nahe 
liegen, darf man setzen k(p — ^, wodurch die Gleichung (1) die folgende Form 
annimmt 
9 
9 
[ l -|- sin''' 9] J 9 
0 
0 
+ "F" ''''' ^"^] 
(2) 
cos k 9 
Durch wiederholte Zweitheilung kann man jedes beliebige elliptische 
Integral der dritten Art von einem solchen abhängig machen, dessen Amplitude 
der oben gemachten Bedingung entspricht. Es wird für hinlänglich grosse 
Werthe von m 
f / ß si"ti2 
/Il/i, kj 9) = Lim n(h, /«, 9m ) — ci \ arc ytg = 
sm^ 9; 
+ 2 
9in — 1 
ot { arc \L ^ 
\ \ " 1— yC0S2 
/ ß sin2 9m sin 9m— 1 \ \ 
V ^ 1 — r COS"^ 9m cos 9m- -1 / j 
9, cos 9 / 
c?9 
[1 -f- sin^ 719! cos /f 
J 
f / , /9 sin^ 9, sin (f> \ , ' ' 
ot ■{ arc 1 tq = I -f . . 
I \ 1 — y cos'^ cpi cos w/ 
arc I t g 
ß sin"^ (fm sin (/)m— 1 
1 — Y COS"'^ (/'m COS g^m— 1/ | 
