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ich mir von Ihnen doch die Erlaubnis erbitten, als Gegenleistung 
für die Zahlen^ die er bekanntgegeben hat, an Sie die Lösung 
Ihrer Probleme richten zu dürfen und ihm in meinem Namen 
einige Fragen vorzulegen, die er, wie ich glaube, nicht so bald 
entwirren wird, trotz der hohen Meinung, die Sie von ihm haben 
und der ganz besonderen Fähigkeiten seines Geistes. 
Um besonders schwere Beispiele zu wählen und so, seinem 
Wunsche gemäß, den Beweis von der Schärfe seines Verstandes 
rühmlicher zu gestalten, wähle ich folgende Sätze : 
1. Ein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten zu 
finden, dessen Inhalt wieder eine Quadratzahl ist. 
2. Gegeben sei die Summe der Hypotenuse eines recht- 
winkeligen Dreieckes mit ganzzahligen Seiten und des Produktes 
aller drei Seiten; es sind die Grenzen zu bestimmen, zwischen 
denen der Inhalt des Dreieckes liegt. Bitte über die Addition 
einer eindimensionalen mit einer dreidimensionalen Größe nicht 
zu erstaunen; denn was die Zahlen anlangt, sind, wie man 
weiß, alle Mengen homogen. 
3. Zwei Biquadrate zu suchen, deren Summe ein Biquadrat 
ist, oder zwei Kuben, deren Summe ein Kubus ist. 
4. Drei Quadratzahlen zu suchen, die eine arithmetische 
Progression bilden, deren Differenz gleichfalls ein Quadrat ist. 
Diesen vier Problemen füge ich noch zwei Theoreme hinzu, 
die ich entdeckt habe und für die ich von Herrn St.-Croix Be- 
weise erwarte. Sollte ich vergeblich warten^ werde ich die Beweise 
selbst mitteilen. Die zwei Sätze lauten: 
I. Jede ganze Zahl ist die Summe von 1, 2 oder 3 Dreieck- 
zahlen, von 1, 2, 3 oder 4 Quadratzahlen, von 1, 2, 3, 4 oder 
5 Fünfeckzahlen u. s. w. 
Diophant scheint den zweiten Teil dieses Satzes anzunehmen 
und Bachet hat sich sehr bemüht, um ihn durch Versuche zu 
beweisen, er hat jedoch den Beweis nicht gegeben. Ich glaabe, 
der erste gewesen zu sein, der diesen ebenso allgemeinen als 
schönen Satz entdeckt hat, doch führe ich ihn hier noch nicht 
an, um nicht aufdringlich zu erscheinen. 
II. Vermindert man irgendein Vielfaches von 8 um die 
Einheit, so erhält man eine Zahl, die nur Summe von 4 Quadraten 
ist, und zwar nicht allein in ganzen, was auch andere schon 
erkannt haben mochten, sondern auch in gebrochenen Zahlen, 
