247 
was zu beweisen ich mich verpflichte. Dieser Satz zieht be- 
merkenswerte Folgerungen nach sich, die dem Herrn St. Croix 
möglicherweise bekannt sind, jedoch den Geist Bachets vergeblich 
beschäftigt zu haben scheinen." 
An seinen Freund und Berufsgenossen sandte Fermat im 
August 1659 (Oeuvres d. F. Tome II, S. 431) einen Brief, der 
Andeutungen über seine ßeweismethoden auf zahlentheoretischem 
Gebiete enthält ; er lautet : 
„Da die gewöhnlichen Methoden, die in den Büchern ent- 
' halten sind, nicht genügten, diese schwierigen Sätze zu beweisen, 
fand ich endlich einen ganz besonderen Weg, um ihnen beizu- 
kommen. Ich nannte diese Art zu beweisen „die unendliche, oder 
unbestimmte Abnahme". Ich bediente mich ihrer anfangs bloß 
zum Beweise negativer Sätze, z. B. daß es keine um 1 vermin- 
derten Zahlen gebe, als nur Vielfache von 3, die aus einem 
Quadrate und dem Dreifachen eines Quadrates zusammengesetzt 
sind. Daß es kein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten 
gebe^ dessen Inhalt eine Quadratzahl sei. 
Der Beweis erfolgt folgendermaßen : Gäbe es irgendein 
rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten, dessen Inhalt 
eine Quadratzahl wäre, so gäbe es auch ein anderes, kleineres 
als jenes, das dieselbe Eigenschaft hätte. Gäbe es ein zweites 
kleineres als das erste mit derselben Eigenschaft, so würde es 
auf Grund einer ähnlichen Schlußreihe ein drittes geben, das 
kleiner als das zweite wäre und dieselbe Eigenschaft hätte, endlich 
ein viertes, fünftes u. s. w. immer abnehmend. 
Nun aber gibt es nicht unendlich viele ganze Zahlen, die 
kleiner wären als irgendeine gegebene, woraus man schließt, daß 
es kein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten gibt, 
dessen Inhalt ein Quadrat wäre. Man schließt daraus auch, daß 
es ein solches Dreieck auch in gebrochenen Zahlen nicht geben 
kann, denn wenn es ein solches gäbe, müßte es auch eines in 
ganzen Zahlen geben, was jedoch nicht sein kann, wie man durch 
die „Abnahme" beweisen kann. 
Ich füge nicht den Grund dessen bei, aus dem hervorgeht, 
warum es ein kleineres Dreieck geben müßte, wenn es irgend 
eines gäbe, weil die Ableitung dessen zu lang wäre und außerdem 
darin das ganze Mysterium meiner Methode beruht. Es wäre 
mir sehr angenehm, wenn Pasca], Robervall und die anderen 
Gelehrten diese Methode nach meinen Andeutungen suchten. 
