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Die längste Zeit war ich nicht imstande, meine Methode 
auf positive Sätze anzuwenden^ da der Pfad dahin viel ver- 
schlungener ist als der der Anwendung auf negative. Ich hatte 
die größten Schwierigkeiten zu überwinden^ als ich den Satz, daß 
jede Primzahl von der Form AU + 1 Summe von 2 Quadraten 
ist, zu beweisen hatte. Aber endlich klärte ich durch mehrmalige 
Ueberlegung die Sache auf; die positiven Sätze waren meiner 
Methode unterworfen mit Hilfe einiger neuer Prinzipien, die ich 
notwendigerweise hinzufügen mußte. Der Fortschritt meines 
Schließens in dieser Hinsicht ist folgender: 
Wenn eine angenommene Primzahl von der Form 4/Z + 1 
nicht Summe von 2 Quadraten wäre, gäbe es eine Primzahl der- 
selben Form, kleiner als die angenommene^ dann eine dritte noch 
kleinere u. s. w. in „unendlicher Abnahme", bis man bei der Zahl 5 
anlangte^ die die kleinste Primzahl von der Form 4TI + 1 ist, und 
welche nicht Summe von 2 Quadraten sein könnte, was sie jedoch 
ist. Daraus läßt sich durch den Unmöglichkeitsnachweis der 
ursprünglichen Annahme beweisen, daß alle Primzahlen von der 
Form 4c tl -f 1 die Summe von 2 Quadraten sind. 
Es gibt unzählige Fragen dieser Art, es gibt aber auch 
welche, die eine Anwendung von neuen Prinzipien verlangen, um 
sich durch die Abnahme beweisen zu lassen; die Suche danach 
ist bisweilen so schwierig, daß es der größten Mühe bedarf, um 
dazu zu gelangen. Solcher Art ist folgende Frage, von der Bachet 
zugibt, daß er sie niemals beweisen konnte, über welche Herr 
Descartes in einem seiner Briefe dieselbe Erklärung abgibt, dort 
wo er bekennt, daß er sie für derart schwierig hält, daß er keinen 
Weg sieht, um sie zu lösen : 
Jede ganze Zahl ist ein Quadrat oder Summe von 2, 3 oder 
4 Quadraten. 
Ich habe diesen Satz endlich meiner Beweismethode unter- 
worfen und ich beweise, daß, wenn eine gegebene Zahl nicht von 
dieser Natur wäre, es eine kleinere gäbe, die es umsoweniger 
wäre, endlich eine dritte noch kleinere als die zweite u. s. w. ins 
Unendliche; woraus man schließt, daß alle Zahlen von dieser 
Beschaffenheit sind. 
Was ich Herrn Frenicle und andern aufgab, ist von eben- 
solcher, oder noch größerer Schwierigkeit: 
Jedes Nichtquadrat ist von solcher Beschaffenheit, daß es 
unendlich viele Quadrate gibt, die damit multipliziert ein Quadrat 
