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sei sie geometrisch oder hypergeometrisch^ in zwei mit ihr homogene 
Größen Zerfällen läßt. 
Bei kontinuierlicher Abnahme des z*^ ergeben sich folgende 
Gleichungen : _ ^ 
z,^^ = X2^ H- y,,^ 
Z3^ = x,^ + y3'^ 
u. s. w. ad inlinitum; somit: 
z^z,^z,^z,^=p^H-q''^=(x^+y^)(x,^-f-y,^) (x^^+y^^) (x,^+y3*'). 
Wegen der kontinuierlichen Abnahme von z** kann gesagt 
werden^ daß jede Summe zweier homogener Größen, die der 
Gleichung 1. genügen, aus Faktoren besteht, die alle, auch die 
kleinsten, Summen zweier Größen desselben Grades sind. Anders 
ausgedrückt lautet dieser Satz folgendermaßen : Jede beliebige 
Summe von zwei homogenen Größen, die der Gleichung 1. genügen, 
gibt, mit einer Summe von zwei Größen desselben Grades multi- 
pliziert, wieder eine Summe zweier Größen desselben Grades. 
Satz ' Tritt die Einschränkung der Kommensurabilität 
der Wurzeln der drei Glieder der Gleichung 1. ein, so kann 
ihr außer der 1. und 2. keine höhere Potenz genügen. 
Beweis : Die kleinsten Faktoren ganzer Zahlen sind die 
absoluten Primzahlen, die außer der Zahl 2 ungerade Zahlen, 
somit als Summen je einer geraden und einer ungeraden Zahl 
aufzufassen sind. Der Primfaktor 2 ist die Summe zweier belie- 
biger Potenzen von 1. 
Die ganzzahligen Summen von zwei Potenzgrößen desselben 
Grades lassen sich allgemein einteilen in solche von der Form: 
^(2n -f- 1) 2°^ _^ j^(2u + 1) 2^ ^^^^^^ ^^^^ . ^2^ _j_ j^2° 
1. Ganzzahlige Summen von der Form : 
^(2a + 1)2- _^ j3(2n -f- 1)2- 
können, da sie durch a -\- b teilbar sind, keine absolute Primzahl 
ergeben. Umgekehrt ausgedrückt heißt dies, daß es in der unend- 
lichen Reihe der ungeraden absoluten Primzahlen keine einzige 
gibt, welche die Summe von zwei derartigen Potenzgrößen wäre. 
Daraus folgt, daß Summen dieser Form, da ihre kleinsten 
Faktoren eben die Primfaktoren sind, der aus der Gleichung 1 
abgeleiteten Konsequenz nicht genügen können, außer wenn n — 0 
