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do laquelle on déduil, en tenant compte de (51), 
Le premier membre de celte égalité ne dépend pas dev; 
on a donc 
d ^ du dp.. 
(37) — = 0. 
Réciproquement, si la relation (37) est identiquement 
vérifiée, le second membre de (36) sera une fonction de u et 
de p2, soit cp (m, p.2), et cette équation s'écrira 
(lu 
En l'intégrant, on obtiendra pour u une expression de la 
forme 
(38) u .-= ^(p, p,), 
où p désigne une constante arbitraire. Les courbes (C) dont le 
paramètre u est donné par l'équation (38) engendreront des 
surfaces orthogonales aux surfaces (S) et dont p sera le para- 
mètre. Par suite, en vertu de la réciproque du théorème de 
Dupin, la surface (S) engendrera une famille de Lamé. 
En définitive, pour que (S) engendre une famille de Lamé, 
il faut et il suffit que la relation (37) soit identiquement 
vérifiée. Si l'on développe les calculs en tenant compte des 
relations (29), (30) et (31), elle devient 
