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18. Des considérations précédentes, nous allons déduire 
une nouvelle démonstration de la réciproque du théorème de 
Dupin. 
On vient d'établir que l'identité (59) est la condition néces- 
saire et sutTisante pour que les lignes de courbure de para- 
mètre u engendrent des surfaces orthogonales aux surfaces (S). 
De même, pour que les lignes de courbure de paramètre v 
engendrent des surfaces orthogonales aux surfaces (S), il faut 
et il sutlit que l'on ait l'identité suivante, déduite de (39) en 
échangeant u ci v : 
(40) n\ m > > = 0. 
^ du dp2 9M ^ dv dudp2 
Si (59) et (40) ont lieu, la surface (S) engendrera évidem- 
ment une famille de Lamé. 
Or, l'égalité (40) est une conséquence de (39), car si l'on 
ajoute ces deux égalités, il vient 
^ dv dudp2 du dvdp2 
identité qu'on déduit de la relation (31) en la dérivant par 
rapport à 
Donc, si (59) a lieu, la surface (S) engendre une famille de 
Lamé. Comme cette identité a lieu dès que les lignes de cour- 
bure de paramètre u engendrent des surfaces orthogonales 
aux surfaces (S), la réciproque du théorème de Dupin est 
démontrée. 
19. L'interprétation géométrique de la relation (39) va nous 
fournir une seconde démonstration des théorèmes du n° 5. 
M étant un point quelconque de l'espace, envisageons la 
surface (S) qui passe par ce point, les lignes de courbure de 
cette surface qui se croisent en M et les sphères de courbure 
géodésique (Se), (S^.) de ces lignes de courbure. 
