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En vertu de ces égalités, la relation (41) se réduit à la 
suivante : 
Si la surface (S) engendre une famille de l^amé, la rela- 
tion (59) a lieu et, par suite, l'égalité (412) est vérifiée. Donc : 
Si une surface (S) engendre une famille de Lamé, la caracté- 
ristique de la sphère (Se), relatiie à un déplacement quelconque du 
point M, est orthogonale à la sphère (Se,). 
Il est clair qu'en raisonnant sur (S^,), on trouverait que sa 
caractéristique est orthogonale à (S^). 
Démontrons maintenant que pour qu'une surface (S) 
engendre une famille de Lamé, il suffit que pour un seul déplace- 
ment du point M, extérieur à la surface, la caractéristique de (Se) 
[ou de (Sg,)] soit orthogonale à (S^,) [ou à (Se)]. 
En effet, si, par exemple, la caractéristique de (S^) est 
orthogonale à (Sg^)» l'équation (42) sera vérifiée et, comme dp.^ 
est 7^ 0, elle entraînera l'égalité (59), laquelle exprime que (S) 
engendre une famille de Lamé. 
20. Les propriétés des familles de Lamé que nous avons 
établies par l'emploi du trièdre Mxyz, déhni au n" 1, peuvent 
être étendues à la géométrie non euclidienne. Il suffît, à cet 
effet, de substituer à ce trièdre un tétraèdre autopolaire par 
rapport à la quadrique fondamentale. Nous avons exposé les 
principes sur lesquels repose cette méthode dans une note 
publiée en 1904 (*). Nous nous bornerons ici à cette indi- 
cation et nous démontrerons par une autre voie que les 
théorèmes des n°' 5 et 15 sont vrais en géométrie non eucli- 
dienne. 
(*) Co)nptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, t. CXXXIX, [>. 393. 
(42) (m y^^-nV 
V ^ du ^ dV dp2 
dp, = 0. 
VIL 
