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Les transformations conformes de l'espace euclidien con- 
servent les angles (par définition) et les sphères. 
La transformation de M. Darboux (*), qui établit une 
correspondance entre l'espace euclidien et l'espace non eucli- 
dien, conserve aussi les angles et les sphères. 
Par conséquent, à toute propriété des transformations con- 
formes, déduite des propriétés qui viennent d'être rappelées, 
correspond une propriété de la transformation de M. Darboux, 
susceptible du même énoncé. Par exemple, la transformation 
de M. Darboux, de même que les transformations conformes, 
conserve les systèmes triples orthogonaux, les cercles oscu- 
lateurs d'une courbe, les lignes de courbure d'une surface (**), 
les sphères de courbure géodésique d'une ligne quelconque 
tracée sur une surface et, en particulier, les sphères de courbure 
géodésique des lignes de courbure. 
Il suit de là que si une figure euclidienne jouit d'une pro- 
priété anallagmatique (c'est-à-dire d'une propriété que les 
transformations conformes laissent inaltérée), sa transformée 
non euclidienne jouira de la même propriété. 
Les théorèmes des n"' 5 et 15 expriment des propriétés 
anallagmatiques des familles de Lamé. Donc, d'après la 
remarque précédente, ces propriétés sont vraies aussi en 
géométrie non euclidienne. 
21. Nous allons déduire des théorèmes du n° 5, étendus à 
la géométrie non euclidienne, une propriété caractéristique des 
surfaces qui engendrent une famille de Lamé non euclidienne 
dans un mouvement hélicoïdal non euclidien. 
Supposons qu'une surface (S) engendre une famille de Lamé 
dans un mouvement hélicoïdal. Marquons sur cette surface. 
(*) G. Darboux, Leçons .sur la théorie des surfaces, Ille partie, p. 492, 
846. 
(**) Pour le reconnaître, il suffit d'observer qu'en Êféomélrie non eucli- 
dienne, comme en géométrie euclidienne, une ligne de courbure est une 
ligne telle qu'il passe par un point mobile M de cette ligne une sphère tan- 
gente en M à la surface et admettant comme caractéristique un cercle de 
rayon nul el de centre M. 
