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prise dans une quelconque de ses posilions, un point quel- 
conque M et désignons par (Se), (Sq,) les sphères de courbure 
géodésique des lignes de courbure qui se croisent en M et 
par G, G' les centres de ces sphères. Si (S) subit un déplace- 
ment inliniment petit, (Se), qui conserve sa grandeur, a pour 
caractéristique un cercle (r) dont le plan n passe par G et est 
perpendiculaire à la vitesse de ce point. Or, (r) est orthogonal 
à (Sg.), donc 71 passe par G' et, par suite, la vitesse de G est 
perpendiculaire à la droite GG'. Celle-ci appartient dès lors au 
complexe linéaire attaché au mouvement hélicoïdal considéré. 
Réciproquement, si les droites GG' relatives aux différents 
points M d'une surface (S) appartiennent à un complexe 
linéaire (H), cette surface engendrera une famille de Lamé 
dans le mouvement hélicoïdal pour lequel (H) est le lieu des 
droites perpendiculaires aux vitesses de tous leurs points. 
Imprimons, en effet, à la surface (S), prise dans une quel- 
conque de ses positions, un déplacement infiniment petit. 
Dans ce déplacement, la vitesse de G est perpendiculaire 
à GG' ; or, le plan n de la caractéristique (r) de (Sg) passe 
par G et est perpendiculaire à la vitesse de ce point; donc il 
passe par G', et (V) est orthogonal à (Se,). Il suit de là que la 
surface (S) engendre une famille de Lamé. 
Le premier théorème de lM. Petot est donc étendu à la 
géométrie non euclidienne. 
Il est clair que la démonstration ci-dessus s'applique aussi à 
la géométrie euclidienne. 
NOTE. 
Dans son rapport sur le présent mémoire (*), M. Darboux, 
après avoir signalé les théorèmes établis dans le n" 5, 
a présenté, au sujet de ces théorèmes, les remarques sui- 
vantes : 
ce La proposition de M. Demoulin peut être rattachée à une 
notion plus générale. 
(*) Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, 1. 153, p. 4275. 
