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)) Étant donné un complexe (G) de sphères S, c'est-à-dire un 
ensemble de sphères dépendant de trois paramètres, il y a 
toujours une sphère S' orthogonale à chaque sphère S et à toutes 
les sphères infiniment voisines du complexe (G). 
» Les sphères S', dépendant en général de trois paramètres, 
forment un second complexe (G') que nous dirons conjugué diU 
premier. 
» On reconnaît aisément que la relation entre les deux 
complexes est réciproque. 
)) Cela posé, la proposition énoncée par M. Demoulin se 
ramène à la suivante : 
)) l^our que la surface (A) engendre une famille de Lamé, il 
faut et il suffit que les sphères de courhure géodésique associées 
aux deux systèmes de lignes de courbure, engendrent respec- 
tivement deux complexes conjugués. )) 
Nous allons établir ces différents résultats. 
L Soit, en coordonnées pentasphériques, 
'^niiXi = 0 
l'équation d'une sphère S qui engendre un complexe (G). Nous » 
supposerons que les coefficients dépendent de trois para- 
mètres pi, pc2, p3. 
Démontrons qu'il exisie une sphère et une seule, S', ortho- 
gonale à S et à toutes les sphères du complexe (G), infiniment 
voisines de (S). 
Soit 
1^711 -Xi = 0 
l'équation d'une telle sphère. Il faut avoir, pour tous les 
systèmes de valeurs des différentielles cfpi, ^/pô, 
^mKwi + dnii) = 0. 
On déduit de là 
(1) ^mjwi = 0, I^m'idnii = 0 
