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Or, cette égalité est précisément la deuxième relation (1). 
Le théorème est donc démontré. 
On prouvera de même, en se servant de la relation (5), que 
les caractéristiques de S' sont orthogonales à S. 
IV. Soient 
I.miXi = 0, 
I^w'ia'i ^ 0 
les équations de deux sphères orthogonales S, S' dépendant de 
trois paramètres. Ces sphères engendrent des complexes (G), (G') . 
Sî, pour toute variation infiniment petite de S, la caractéristique 
de cette sphère est orthogonale à S', les complexes (G), (G^) seront 
conjugués. 
Il s'agit d'établir les relations (1). Les sphères S, S' étant 
orthogonales, la première de ces relations est vérifiée. La 
seconde l'est aussi, car elle exprime la condition énoncée. 
V. Des résultats établis dans les n°' IV et V, résulte ce 
théorème : 
Pour que deux complexes engendrés par des sphères S, S' 
soient conjugués, il faut et il suffît que pour toute variation 
infiniment petite de S, la caractéristique de cette sphère soit ortho- 
gonale à S'. 
Vï. Reportons-nous au n° 5. Soient 
Sw^r^ = 0, 
I^ni'iXi = 0 
les équations des sphères (S^), (Se.). Désignons par (G) le 
système des sphères (Sq) et par (G') celui des sphères (Se,). 
Pour que la surface (S) engendre une famille de Lamé, il 
faut et il suffît que la caractéristique de (Sg) relative à une 
variation infiniment petite quelconque de cette sphère soit 
orthogonale à (Se/), c'est-à-dire qu'on ail 
^ïiin'idWi = 0. 
