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d'où 
(8) 
3U' 
dx'2' 
Si l'on tient compte des équations (5) et (8), on peut mettre 
l'équation (7) sous les deux formes suivantes 
Les équations (5) et (9) [ou les équations (8) et (10)] expri- 
ment que les variétés à trois dimensions de l'espace à 
quatre dimensions décrites par les points (iCi, x^y x^, U), 
{x[, x'.,, ^3, U^) se correspondent dans la transformation de 
Legendre. Ces variétés sont polaires réciproques par rap[>ort à 
l'hyperquadrique définie, en coordonnées ponctuelles X^, Xg, 
X3, X4, par l'équation 
X. Une transformation ponctuelle étant donnée, désignons, 
comme dans le cas des transformations (5), par x^^ x<^, x^ et 
Xj^y Xoy X'^ les coordonnées rectangulaires de deux points 
correspondants quelconques i\J et M'. 
Nous allons démontrer que les transformations (5) sont les 
seules pour lesquelles on a 
(11) ^AdXihx'i = ^oxidx'iy 
les signes de dilférentiation ci et 0 se rapportant à deux 
00) 
(9) 
X5 + X|+X3 = 2X,. 
