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De là résulte ce Ihéorème, énoncé par Ribaucoiir (*) : 
Étant dotméun système triple orthogonal quelconque (M) décrit 
par un point M , on porte sur la normale à la surface de para- 
mètre passant par ce point, dans le sens où u^ croît, un 
du système (2), puis on décrit, des points Oj, Og, O3 comme 
centres, trois sphères (S|), (S2), (S5) passant par le point M. Le 
second point d'intersection P de ces sphères décrit un système 
triple orthogonal (P) qui correspond au premier et la surface de 
paramètre Uj passant par le point P est tangente à la sphère (S^). 
Pour la concision du langage, nous dirons que les systèmes 
(M) et (P) se correspondent dans une transformation de 
Ribaucour. 
Les coordonnées (X, Y, Z) du point P ont pour expressions 
segment MO^ égal à 
dUi 
, X désignant une solution quelconque 
0) 
9 étant définie par l'éqnatioi 
(8) 
Les relations (7) et (8) donnent 
(9) 
S(X — ir)2 = — m. 
(*) Bulletin de la Société philomatiqiœ de Paris, 1869. 
