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la caractéristique de cette sphère est située dans le plan défini 
par l'équation 
dx dl 
S(X — x) — = 
dlti dUi 
Or, celle-ci se déduit de l'équation (16) en remplaçant 
^0' 9^^ y, z\ le ihéorème est donc démontré. 
Il suit de là que si u^ est constant, la corde de contact de (S) 
avec son enveloppe est la normale en \ à la surface de para- 
mètre Uj. 
4. Nous allons établir que la droite MA porte deux séries 
de points décrivant des . systèmes triples orthogonaux qui 
correspondent aux systèmes (M) et (A). 
Le système (A) ne change pas lorsqu'on remplace 1 par 
l-\-h,h désignant une constante arbitraire, mais le système (P), 
qui lui correspond dans l'inversion définie plus haut, varie. 
Tous les systèmes (P) ainsi obtenus correspondent à (M) dans 
des transformations de Ribaucour. II en résulte qu'ils se 
correspondent deux à deux dans des transformations de Com- 
bescure. En effet, appelons trièdre (T) relatif à un point qui 
décrit un système triple orthogonal le trièdre dont les arêtes 
sont les normales aux surfaces du système qui passent par le 
point considéré. Cela posé, le trièdre (T) relatif au point M et 
le trièdre (T) relatif à un point P sont symétriques par rapport 
à un plan perpendiculaire à MA. Donc les trièdres (T) relatifs 
aux points P sont parallèles. C. 0- F. D. 
Si, dans les formules (15), k varie, le système (Q) correspon- 
dant varie. Tous ces systèmes (Q) correspondent à (M) dans des 
transformations de Combescure (*). Par suite, les trièdres (T) 
k 
{*) Les formules (12; et (14) donnent xMQ = — — . MP, d'où, en faisant 
1 k 
/c = — 2, MA = -. MP. De ces égalités, on déduit MQ = — -. MA. Donc les 
points Q divisent le segment MA dans des rapports constants. Pour démon- 
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