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relatifs à un point P et à un point Q sont symétriques par 
ra[)port à un plan perpendiculaire à MA et, dès lors, les 
systèmes (P) et (Q) qu'ils décrivent se correspondent dans une 
transformation de Ribaucour. 
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, dû à 
M. Darboux (*) : 
Si deux points ^\^ et décrivent des si/stèmes triples ortho- 
gonaux qui se correspondent dans une transformation de Com- 
bescure ou dans une transformation de Ribaucour, la droite 
Mj Mcj porte deux séries simplement infinies de points décrivant des 
systèmes triples orthogonaux qui correspondent aux systèmes (M^) 
et (M.2). Les systèmes décrits par deux points appartenant à une 
même série se correspondent dans une transformation de Com- 
bescure. Les systèmes décrits par deux points appartenant à des 
séries différentes se correspondent dans une transformation de 
Ribaucour. 
Chacun des points M^, appartient à une des séries. 
II. 
5. Soient (M) et (M') deux systèmes triples orthogonaux qui 
se correspondent dans une transformation de Combescure. 
Conservons pour le système (M) les notations du n'' 1. L'élé- 
ment linéaire de l'espace relatif à ce système est défini par la 
formule (1) et les coordonnées a?, y, z du point M satisfont au 
système (^). Soit 
ds'' = \\[Hul + ^'idiil + W'^Hul 
trer cette propriété, on peut aussi s'appuyer sur le théorème suivant : Soient 
Ml et xM, deux points décrivant deux systèmes triples orthogonaux qui se 
correspondent dans une transformation de Combescure. Pour qu'un point M, 
situé sur la droite M| Mj, décrive un système triple orthogonal qui corres- 
ponde aux systèmes (Mi) et (M2) dans des transformations de Combescure, il 
faut et il suffit que le rapport soit constant. 
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(*) Leçons sur les systèmes orthogonaux, 2^ édition, n»* 214, 21o et 218. 
