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On a donc 
(30) — — = ?rî — + w — - + poi^i' (î = i, ^ 
dudv du dv 
Des relations (29) et (30), on déduit 
(31) 
^ ^ du dv 
Si l'on pose 
on trouve, en tenant compte des relations (29), (30) et (31), 
1 a log E la log G 
(33) ^ = ^ ' ^i = ^ 
^ ^ dv ^ du 
Soient (Sg), (Sg,) les sphères de courbure géodésique des 
lignes de courbure v = const., u = const. qui se croisent 
en M. Ces sphères jouissent des propriétés caractéristiques 
suivantes : 1" la sphère (Sg) [ou (Sg,)] est orthogonale en M à la 
ligne u = const. (ou v = const.) ; 2^^ lorsque u (ou v) varie seul, 
sa caractéristique est un cercle de rayon nul et de centre M. 
Ces propriétés vont nous permettre de déterminer les équa- 
tions des sphères (Sg) et (Se/). Cherchons, par exemple, l'équa- 
tion de (Sg). Toute sphère (S) orthogonale, en M, à la ligne 
= const. a une équation de la forme 
Lorsque u varie seul, la caractéristique de cette sphère 
appartient à la sphère (S'), définie par l'équation 
d'Xi da dœi\ 
+ — H- a — - = 0, 
dudv du du 
