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Si la surface |,S) engendre une famille de Lamé, la rela- 
tion (11) a lieu; par suite, la relation (15) est vérifiée et la 
droite GG' appartient au complexe (L). 
Supposons à présent que, pour un seul déplacement 
(du, dv, rfpg) du point M, extérieur à la surface, la droite GG' 
appartienne au complexe (L). Dans*ce cas, la relation (15) sera 
vérifiée et, comme dp.2 est ^ 0, elle entraînera la relation (11). 
Par suite, la surface (S) engendrera une famille de Lamé. 
Un point étant marqué sur une surface, appelons droite g rela- 
tive à ce point la droite qui joint les centres de courbure géodé- 
sique des lignes de courbure qui se croisent au point considéré. 
Cette dénomination admise, les résultats que nous venons 
d'établir peuvent être formulés comme il suit : 
Si une surface engendre une famille de Lamé, la droite g 
relative à un point quelconque M de celte surface appartient aux 
complexes linéaires attachés aux déplacements du trièdre Mxyz. 
Pour qu'une surface engendre une famille de Lamé, il suffit 
que, pour un seul déplacement du point M, extérieur à la surface, 
la droite g relative à ce point appartienne au complexe linéaire 
attaché au déplacement correspondant du trièdre Mxyz. 
7. Appliquons ces théorèmes à la démonstration des pro- 
positions de M. Petot concernant les familles de Lamé com- 
posées de surfaces égales ou homothétiques. 
Supposons qu'une surface (S) engendre une famille de Lamé 
dans un mouvement hélicoïdal. Soit (H) le complexe linéaire 
attaché à ce mouvement. Marquons sur (S), prise dans une 
quelconque de ses positions, un point quelconque M et impri- 
mons à cette surface un déplacement infiniment petit. La 
droite g relative au point M appartient au complexe (L) 
attaché au déplacement correspondant du trièdre Mxyz. Or, ce 
complexe est identique à (H). Donc la droite g relative au 
point M appartient à (H). 
Réciproquement, si les droites g relatives aux différents 
points d'une surface (S) appartiennent à un complexe 
linéaire (H), cette surface engendrera une famille de Lamé 
