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La sphère (Sg.) étant orthogonale à la sphère (S(.,), pour que 
le cercle (r) soit orthogonal à (S^,), il faut et il suffit que, 
parmi les sphères passant par (F), il y en ail une seconde qui 
soit orthogonale à S^,); en particulier, il faut et il suffît que le 
plan de (f) passe par le point G'. Cette dernière condition 
s'exprime par l'égalité 
(lâ) (Cii, + — ACr,)dp, = 0, 
Si la surface (S) engendre une famille de Lamé, la rela- 
tion (11) a lieu; par suite, la relation (12) est vérifiée et la 
caractéristique de (S^) est orthogonale à (S(.,). Donc : 
Si une surface (S) engendre une famille de Lamé, la caracté- 
ristique de la sphère (Sq}, relative à un déplacement quelconque 
du point M, est orthogonale à la sphère (S(j,). 
Il est clair qu'en raisonnant sur (S(j,), on trouverait que sa 
caractéristique est orthogonale à (S(.) (*). 
Supposons à présent que, pour un seul déplacement 
(du, dv, dp^) du point M, extérieur à la surface, la caracté- 
ristique de (Sq) soit orthogonale à (8^/). Dans ce cas, la rela- 
tion (12) sera vérifiée et, comme dp^ est ^ 0, elle entraînera 
l'égalité (11), laquelle exprime que la surface (S) engendre une 
famille de Lamé. 
un trièdre trirectangle mobile dépendant d'un paramètre t et dont ^, tj, 'C,, p, q, r 
sont les translations et les rotations. La caractéristique de cette surface appar- 
tient à la surface définie par V équation 
^1 (^ + ^^ _ ry) + I + + _ |. 
(*) Si <ip2 = 0, l'équation (12) est vérifiée. Toute surface pouvant être 
considérée (d'une infinité de manières) comme appartenant à une famille de 
surfaces à un paramètre, on déduit de là le théorème suivant : Soient (Sg), 
(Se) les sphères de courbure géodésique des lignes de courbure qui se croisent 
en un point M d'une surface. Pour tout déplacement du point M sur cette sur- 
face, la caractéristique de (Sg) [ou de (Se)] est orthogonale à (SgO [ou à (Sg)]. 
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