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Si Ton tient compte de ces relations, l'expression ci-dessus 
de ds^ devient 
et, par suite, la surface (S) engendre une famille de Lamé. 
G. Q. F. J). 
On voit, en outre, que pour déterminer les familles de Lamé 
de paramètres p, pi, il faut intégrer les équations différen- 
tielles 
du + cp(7/, p2);/p2 = 0, dv + ^(v,p2)(^p-2 = 0- 
3. Des considérations qui précèdent résulte le théorème 
suivant, d'ailleurs bien connu : 
Pour que les surfaces (S) forment une famille de Lamé, il suffit 
que, lorsque le point M décrit une quelconque de leurs trajectoires 
orthogonales, la droite Mx [OU la droite M y) engendre une série 
développable. 
Ce théorème entraîne comme conséquence immédiate la 
réciproque du théorème de Dupin, due à M. Darboux (*) : 
Si l'on a deux familles de surfaces se coupant à angle droit et 
si les lignes d'intersection des surfaces qui appartiennent à deux 
familles différentes sont lignes de courbure sur les surfaces de 
l'une des deux familles, il existe une troisième famille formée de 
surfaces coupant les précédentes à angle droit. 
IL 
4. Soit iM un point quelconque d'une courbe (C) tracée sur 
une surface. Nous appellerons sphère de courbure géodésique de 
la courbe (C) en M la sphère qui passe par M et qui a pour ^ 
(*) (i. Darboux, Leçons sur les systèmes orlliogonaux, p. iO, n'^ 6. 
