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Cet important résultat et la méthode par laquelle nous 
venons de l'établir sont dus à M. Darboux (*). 
8. Dans le n** 7, nous avons attaché à la figure formée par 
les systèmes (P) et les systèmes (Q) la figure formée par les 
systèmes (Pé) et les systèmes (Qo). Démontrons que, réciproque- 
ment, étant donnés un système triple orthogonal quelconque 
(Aq) et le système triple orthogonal (M) qui lui correspond dans 
la transformation de Combescure la plus générale, la parallèle 
à OAo, issue du point M, porte une infinité de points Q et une 
infinité de points P décrivant des systèmes triples orthogonaux 
qui correspondent, dans des transformations de Combescure, 
respectivement aux homothétiques et aux inverses du système 
(Aq) par rapport au point 0. 
Par le point iM, menons un segment MA équipollent au 
segment OAq. Le point A décrit un système triple orthogonal 
qui correspond au système (M) dans une transformation de 
Combescure. 
Désignons, en effet, par tiq, i^o ^es coordonnées du 
point Aq, par t,, l celles du point A et conservons pour le 
système (M) les notations du n° I . Les systèmes (M) et (AJ) se 
correspondant dans une transformation de Combescure, il 
existe une solution X du système (2) qui satisfait aux équations 
j-, dx _ dk 
dUi dUi 
Si l'on remplace, dans ces équations, ^'q, Aq, "Co par leurs 
valeurs Ç — a-, 7^ — y, ^ — z, on obtient le système (19). Donc 
(A) et (M) se correspondent dans une transformation de Com- 
bescure. 
X est donnée par la formule 
1= r Si; — • (iWi + s?; — . (/W2 + Si; — ■ du^. 
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(*) Leçons sur les systèmes orthogonaux, 2e édition, p. 40d, n" 218. 
