( 63 ) 
Soient P et Q les points communs aux sphères (S^), 
(S2), (83)- 
On reconnaît aisément que la caractéristique de la 
sphère (S^), lorsque varie seul, appartient à la sphère (S;,). 
Donc, lorsque est constant, la sphère (S^) touche son enve- 
loppe (E^) aux points P et Q. Les systèmes triples (P) et (Q) 
décrits par les points P et Q jouissent, dès lors, de la propriété 
suivante : 
Les surfaces de paramètre Ui passant par les points P et Q sont 
tangentes à la sphère (Sj). 
Par conséquent, lorsque varie seul, les points P et Q 
décrivent des courbes tangentes au cercle d'intersection des 
sphères (S^) et (S^) et la droite PQ engendre une développable. 
[| suit de là que les lignes principales de l'enveloppe (E^) ont 
pour paramètres Uj^, et que les cercles principaux de ladite 
enveloppe sont les intersections de la sphère (S^) avec les 
sphèié 0 (S;^) et (Sj). Donc, en vertu d'un théorème dû à Ribau- 
cour (*), 
Sur la surface décrite par le centre 0^ de la sphère (Sj), lorsque 
Uj est constant, le réseau (u^, u^) est conjugué et les tangentes aux 
courbes de paramètres u^, u^ sont respectivement Ofl^, 0^0^^. 
Si le système (M) est 0, les tangentes MTj, MT02, MT3 seront 
deux à deux orthogonales et il en sera, par suite, de même des 
sphères (S^), (S2), (S5). Les systèmes (P) et (Q) seront donc 
orthogonaux et ils -se correspondront dans une transformation 
de Ribaucour. Or, pour que le système (M) soit 0, il faut et il 
suffît que la somme I19| vérifie le système (29). Donc : 
Si cinq solutions Ou d'un système de la forme (29) sont telles 
que la somme de leurs carrés vérifie ce système, les points d'inter- 
section P et Q des sphères (Si) définies par les équations 
{*) Voir G. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, IJe partie, p. b23, 
no 473. 
