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décrivent deux systèmes triples orthogonaux (P) et (Q) qui se 
correspondent dans une transformation de lUbaucour. 
Celle élégante proposition est due à M. Darboux (*). 
ï/éminent géomètre l'a démontrée sans faire appel à la notion 
de système point 0; celle-ci, en effet, n'est pas indispensable 
pour établir le théorème en question, mais elle va nous 
conduire à de nouvelles propriétés des systèmes triples ortho- 
gonaux. 
15. Rappelons d'abord comment on déduit du système (M) 
les systèmes point qui lui sont parallèles. 
Soit 
ds'^uidiii-^mdui-^uidiii 
la formule donnant l'élément linéaire du système (M). Si l'on 
désigne par Q les cosinus directeurs de la tangente MT^, on a 
(30) = H,if. 
Soient (Mi) un quelconque des systèmes point parallèles au 
système (M) et 8)^ les coordonnées du point iVI^ qui le décrit. 
L'élément linéaire de ce système étant défini par la formule 
ds^' = y\['dul + [Khiiil + U'.'dié, 
diii H- dUi Hi 
L'intégration du système (31) fournira les H-; le système (32) 
donnera ensuite les 6^. 
on aura 
(31) 
(32) 
(*) Leçons sur les systèmes orthogonaux, 2e édition, p. 402, n» 219. 
