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Pour établir ce théorème, nous nous appuierons sur les 
résultats du n^ 7. Prenons respectivement pour penta- 
sphères (Po), (P), (PO les pentasphères (P^), (PJ, (P^) et con- 
servons toutes les notations du dit numéro. 
Soient aj^ les rotations de (P,,,). On a, d'après les for- 
mules (21), 
j du 
ou, en tenant compte des formules (18), 
(lu 
du 
Or, 
Donc 
T du 
= «i.. C. Q. F. D. 
IV. 
14. Dans le n** 11, nous avons attaché à tout pentasphère 
mobile (P„i), rapporté à un pentasphère fixe (P^), dix quantités 
que nous avons appelées ses rotations. 
Nous allons à présent démontrer que, étant donnés un 
pentasphère fixe (P^) et dix fonctions de u {Uij^ + a^^ = 0), 
il existe un pentasphère (P,J et un seul qui, rapporté à (P^), 
admet ces fonctions comme rotations et qui, pour u = Mq, 
coïncide avec un pentasphère (Py arbitrairement choisi. 
