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Soienl (SJ), (S?) les sphères qui composent (P^) et 
m,i, m% les coordonnées métriques de la sphère (S?). Les 
quantités m-^ sont les coelïicients d'une substitution ortho- 
gonale. 
Soient, comme plus haut, (Si), (S5) les sphères qui 
composent (P„,) et /%, m^^ les coordonnées de la sphère (S^). 
Il s'agit d'établir que le système (24) admet un seul système 
de cinq solutions (w^,,, rn^j^) (/i = 1, 5) jouissant des 
propriétés suivantes : 
i"" Les quantités m^^^ satisfont aux relations 
(25) ^7nl, = 1, :^?%,m,,,, = 0. (i, i' = 1, 5; i ^ i') . 
S'* Pour u = Wq, est égal à (t, /j = i, 5). 
Déterminons cinq solutions (*%,, m^j^) du système (24), 
telles que, pour u = Uq, on ait m^^ = m%^, m^j^ == m9,^. 
On démontre aisément que si (m^, m^), {m[, m'^ 
sont deux solutions du système (24), 
'Linf = const., 
ILmiirii = const. 
Par suite, 
^m%, = consî., liinij^mij^, = const. (h, h' =1, 5; h 4- h') 
i i 
Or, les quantités étant les coefficients d'une substitution 
orthogonale, 
i i 
Donc 
I^mlr, = 1, liiTiinminr = 0. 
i i 
Ces égalités entraînent, on le sait, les égalités (25). Le 
théorème est donc démontré. 
